Les difficultés d’apprentissage du calcul numérique et algébrique au collège : Constat et recommandations

1.Introduction:

Le passage du cycle primaire au cycle collégial est marqué, sur le plan de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques, par:

* L’extension du domaine numérique qui s’étend des nombres positifs vers les nombres relatifs.

* L’introduction du symbolisme algébrique.

* En géométrie : le passage de l’observation, de la description et de la manipulation à la démonstration.

L’introduction des nombres négatifs pose de sérieux problèmes pour les apprenants surtout avec l’extension des opérations et de l’ordre sur les nombres positifs au domaine des nombres relatifs. Cette extension est génératrice de difficultés voire d’obstacles qui peuvent nuire ou même anéantir les progrès des élèves.

     Le calcul algébrique se restreint au niveau des pratiques de l’enseignement au collège à des opérations sur des lettres qui sont manipulées comme des objets autonomes, des formes sans contenus. L’apprentissage du calcul littéral devient ainsi une activité dénuée de sens et par conséquent une source de difficultés pour les apprenants.

2.Redonner du sens à l’activité mathématique dans l’enseignement :

Faire des mathématiques n’est une activité formatrice et à fortiori source de plaisir, que si cette activité présente et engendre du sens ; faire des mathématiques c’est engager une activité où acte et contenu sont indissociables. Faire des mathématique ce n’est pas découvrir, dévoiler une vérité qui serait déjà là, mais construire, créer un univers⁽¹⁾.

La construction du savoir est un processus d’interactions entre le sujet (l’apprenant) et l’objet ; ces interactions sont en fait des interactions entre l’apprenant et une situation d’apprentissage. La construction d’une situation pertinente qui peut favoriser l’interaction des apprenants avec le savoir mathématique est un enjeu pour les didacticiens. Il s’agit de construire une situation qui permet à l’apprenant de s’investir, de mettre en œuvre ses acquis antérieurs à travers des essais, des observations, des expériences, des tentatives pour conjecturer, tester la conjecture émise, résoudre cette conjecture … réessayer pour émettre une nouvelle conjecture … 

Ce processus interactif qui prétend mettre l’élève à la place du chercheur dépend de la situation mise en œuvre, et d’une bonne gestion du travail des apprenants de la part de l’enseignant. Une gestion qui doit éviter de souffler toute information qui peut influencer la recherche des élèves en leur traçant l’itinéraire à suivre pour résoudre la situation en question. La construction de telles situations pour favoriser l’acquisition d’un concept mathématique exige -entre autres- le recours à l’analyse historique de ce concept pour repérer le problème mathématique qui lui a donné naissance, le débat qu’il a déclenché pour s’intégrer au sein du savoir savant, les difficultés qu’il a rencontré pour être reconnu comme objet mathématique et les obstacles qu’il a soulevé.

     L’analyse historique d’un concept mathématique est indispensable pour concevoir une démarche scientifique pour son enseignement. Cette analyse peut servir de référence pour interpréter les difficultés des élèves au cours du processus d’acquisition de ce concept et repérer, parfois, les obstacles épistémologiques inhérents à l’apprentissage de celui-ci; cette idée est adoptée par les didacticiens en référence à la fameuse hypothèse de J. Piaget selon laquelle, il existe  un parallélisme entre les processus d’élaboration de la connaissance individuelle et les processus d’élaboration de la connaissance collective, soit entre psychogénèse et histoire des sciences⁽²⁾. Selon cette hypothèse, les difficultés et les obstacles que rencontrent les élèves au cours de l’apprentissage d’un concept peuvent être interprétés par les difficultés et les obstacles qui ont conduit justement au développement historique de ce concept. 

Suite aux considérations précédentes et puisque nous prétendons à travers ce travail repérer les difficultés des élèves du collège concernant l’apprentissage du calcul numérique et littéral, nous allons, dans le paragraphe suivant, présenter une brève analyse historique des nombres négatifs et du calcul algébrique.

3. Esquisses historiques :

3.1.Un curieux débat historique à propos du statut des nombres négatifs :

     On estime que la notion de nombre négatif est née des besoins comptables (gains et dettes). Les chinois semblent avoir utilisé les nombres négatifs dès le premier siècle de notre ère. Les nombres négatifs ont été jugés à travers l’histoire comme de fausses solutions d’équations depuis l’ère grecque jusqu’à la création de l’algèbre par les arabes. Al Khawarismi accepte les termes négatifs dans les équations, mais il s’en débarrasse au plus vite.   François Viète ne donnait que les solutions positives des équations qu’ils résolvaient⁽³⁾, alors que Cardan retenait les racines négatives de celles-ci qu’il nommait feintes⁽⁴⁾.

     L’apparition d’un premier manuscrit en France en 1430, est le premier texte où un résultat négatif est accepté sans réserve⁽⁵⁾. Depuis le 17^e siècle et jusqu’au début du 19^e les nombres négatifs ont reçu progressivement le statut d’un concept mathématique.  Ce nouveau statut est constitué par le célèbre manuel « Éléments d’algèbre » d’Euler…celui-ci affirme que les nombres négatifs sont plus petits que zéro. Dans les manuels Français de la seconde moitié du 18^e siècle, le calcul sur les quantités négatives est bien exposé, mais les nombres négatifs conservent quand-même un statut ambigu⁽⁶⁾.

     Dans son ouvrage « la langue des calculs » Condillac fournit un effort pour établir une théorie des nombres négatifs ; il découvre le passage des quantités/grandeurs au nombre comme point décisif. Malheureusement Condillac n’a pas achevé son ouvrage⁽⁷⁾. 

L’extension des opérations et de l’ordre sur les nombres négatifs ont été à l’origine de plusieurs difficultés qui ont attardé l’institutionnalisation des nombres négatifs en France. Carnot en (1801 et 1803) n’admettait au statut d’êtres mathématique que les nombres absolus c'est-à-dire ceux qui peuvent être reliés à des substances. Ainsi Carnot ne retient la soustraction que pour l’arithmétique et ne la considère jamais comme opération algébrique⁽⁸⁾ L’un des obstacles le plus évident sera pour lui le zéro absolu, en dessous duquel il n’y a rien.  « Je ne comprends pas ! je ne comprends pas !-disait Carnot- Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien opération impossible, comment donc concevoir une quantité négative isolée ? » et il ajoute : « Les notions qu’on a donné jusqu’ici des quantités négatives, se réduisent à deux : celles dont nous venons de parler à savoir que ce sont des quantités moindres de zéro, et celles qui consiste à dire que les quantités négatives sont de même nature que les quantités positives, mais prises dans un sens contraire :D’Alembert détruit l’une et l’autre de ces notions. Il repousse d’abord la première par un argument qui me parait sans réplique. Soit dit-il la proportion 1 :-1 :: -1 :1  si la notion combattue était exacte, c'est-à-dire -

1 était moindre que 0, à plus forte raison serait-il moindre que 1 donc le second terme de cette proportion devrait être moindre que le troisième ; c'est-à-dire que 1 devrait être moindre que -1, donc -1 serait tout ensemble moindre et plus grand que 1 ; ce qui est contradictoire. Passons à la seconde notion : si deux quantités, l’une positive, l’autre négative, étaient aussi réelles l’une que l’autre et ne différaient que par leur positions, pourquoi la racine de l’une serait-elle une quantité imaginaire, tandis que celle de l’autre serait effective ?  Une multitude de paradoxes ou plutôt d’absurdités palpables résulteraient de la même restriction (quantités négative). Par exemple : mais  ce qui choque toutes les idées claires qu’on peut se former de la quantité positive » ⁽⁹⁾.  

 La difficulté de concevoir une quantité négative isolée et la persistance des idées "claires" que Carnot se faisait des quantités positives menaient celui-ci à sacrifier l’idée de nombre négatif. Ces argumentations ont effectué l’acceptation presque unanime, en France, du refus des nombres négatifs. Et par suite, les énoncés sur l’existence des quantités négatives ou des réflexions sur les opérations ont été retirés des manuels français à partir de 1808 ⁽¹⁰⁾.

     En 1804, Busse publie une réponse à Carnot, Busse explique que si les signes d’opération n’avaient été conçus historiquement, qu’à l’usage exclusif des nombres absolus, il convient maintenant de distinguer ces signes d’opérations des signes des nombres eux même. Selon Busse, l’erreur principale de Carnot consiste justement en ce qu’il ne fait pas cette distinction⁽¹¹⁾.

     Le modèle explicatif gains/dettes qui permet la justification de l’existence des nombres négatifs illustrant les règles d’addition et de soustraction sur ces nombres devient un obstacle face à la justification des règles du produit de ces nombres négatifs : écoutons Stendhal exprimant son malheur à comprendre la règle " moins par moins donne plus ": «… que devins-je  quand je m’aperçu que personne ne pouvait m’expliquer comment il se faisait que moins pour moins donne plus ?   ( C’est une des bases fondamentales de la science qu’on appelle ‘‘algèbre’’) » ⁽¹²⁾  Stendhal se trouve dans l’obligation d’accepter la règle qu’il n’a pas comprise car il constate que l’usage de celle-ci conduit à des résultats indiscutables; mais il continue toujours à exprimer son objection : «  je fus réduit à ce que je me dis encore aujourd’hui : il faut que  moins par moins donne plus soit vrai, puisque bien évidement, en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats ‘’vrais et indubitables’’ …comment en multipliant 10.000 francs dettes par 500 francs dettes on parvient à une fortune de 5 000 000 de francs » ⁽¹³⁾. Il parait que le problème de Stendhal consiste en la liaison entre le nombre et la  quantité et ressort de la restriction du nombre négatif en tant que concept au modèle dettes/gains, comme il l’exprime dans son témoignage.

La situation reste bloquée, en France, jusqu’à 1896 qui a connu l’apparition d’une théorie des nombres négatifs dans un manuel intitulé « En tête d’algèbre » dû à Carlo Bourlet… En Allemagne, le statut des nombres négatifs n’a pas connu les mêmes controverses tel était le cas en France. Les mathématiciens allemands ont mis en place dès le milieu du 18^e siècle, un cadre théorique pour justifier les opérations algébriques sur tous les entiers. C’est la doctrine des quantités opposées⁽¹⁴⁾. En 1817, Forsteman présente une théorie vraiment précise des nombres négatifs.  Son livre est le premier à établir systématiquement une séparation entre quantité et nombre. Selon Forsteman, il n’y a pas de quantité ou grandeurs négatives, mais il peut avoir des nombres négatifs ⁽¹⁵⁾.  

     En guise de conclusion, nous dirons que le débat historique autour de l’existence des nombres négatifs s’explique surtout par l’obstacle qui consiste en la liaison nombre- quantité. Le franchissement de cet obstacle est marqué par le passage de la notion de grandeur (signification des quantités) qui est de nature substantielle, à celle du nombre en tant que concept mathématique qui est de nature théorique.

En conséquence, faut-il repenser l’enseignement des nombres négatifs :

Étant donné que la liaison nombre-quantité fonctionnait comme obstacle épistémologique, elle peut être à l’origine de difficultés ou même d’obstacle didactique au cours de l’apprentissage des nombres négatifs au collège ; surtout que cette liaison était une stratégie principale lors de l’introduction du concept de nombre et des opérations sur les nombres au cours du cycle primaire. Le recours hâtif aux règles abstraites, sous prétexte de programme à couvrir, pour amener les élèves à faire des opérations sur les nombres relatifs est générateur de difficultés pour ceux-ci qui se trouvent face à des opérations sans signification. Nous croyons que l’ordre la somme et la différence représentent des facettes des nombres relatifs ; l’introduction de ces nombres en première année du collège ne peut réussir sans faire appel à ces multiples facettes ; cela n’est réalisable qu’a partir de situations porteuses de sens pour les élèves. Chaque opération qui implique la dimension abstraite des nombres relatifs doit être reliée à une situation concrète qui permettra de formuler l’opération et de trouver le résultat, ce qui permettra à l’élève de dégager-après de multiples essaies- les règles de calcul tout en construisant le sens de celles-ci. C’est une stratégie qui se base sur le passage de la dimension contextuelle à la dimension abstraite des nombres relatifs et inversement⁽¹⁶⁾.

3.2. De la naissance du symbolisme algébrique à l’enseignement du calcul littéral :

     Les mathématiques ont évolué à travers l’histoire en développant leurs aspects démonstratifs. La démonstration en tant que méthode essentielle et universelle des mathématiques et procédé unanime des mathématiciens vise à rendre leurs résultats valides et évidents. Les méthodes démonstratives qui prétendent l’universalité dans le sens où elles interviennent dans de multiples problèmes, ce que Poincaré appelle : "l’économie de la pensée", économie qui représente la paresse créatrice, qualité essentielle du mathématicien pratiquant. C’est cette paresse créatrice qui est peut être à l’origine de cette science de la simplicité par excellence que constitue l’algèbre. C'est-à-dire la mise en place de représentations symboliques dont le  maniement doit permettre  de résoudre les problèmes les plus complexes que pose la pratique  d’une science ⁽¹⁷⁾.

     Le symbolisme algébrique, tel qu’il se reconstitue avec  F. Viète, va permettre de ramener le calcul sur les grandeurs à des opérations formelles sur les lettres, répondant à la double  exigence : validation et universalité. C’est en utilisant la méthode de Viète  que Descartes et Fermat fonderont la géométrie analytique, la puissante méthode des coordonnées, qui est essentiellement un calcul algébrique sur les grandeurs géométriques⁽¹⁸⁾. La méthode de Viète prendra une double signification : D’une part la représentation littérale met en évidence l’analogie entre deux calculs, le calcul sur les nombres et le calcul sur les grandeurs ; d’autre part, le calcul littéral va conduire à prendre conscience de l’autonomie du calcul par rapport aux objets représentés par les lettres. Le calcul devient ainsi un calcul formel, défini par les règles de transformation des expressions littérales, sans référence à une quelconque signification de ces expressions⁽¹⁹⁾. 

     Cette formalisation algébrique qui est née dans un contexte historique pour réduire le raisonnement  au calcul s’est transposée -parait-il- dans l’enseignement collégial sans référence aux conditions qui lui ont donné naissance, référence qui peut favoriser l’élaboration de situations pertinentes pour justifier le recours au calcul littéral et par conséquent construire le sens des transformations sur les expressions algébriques chez les apprenants.                                                      

      Avec des pratiques d’enseignement fortement influencées par l’idéologie formaliste, le calcul littéral devient ainsi un calcul purement formel, un calcul féerique aux yeux des apprenants qui ont passés les six années de l’enseignement primaire à faire des calculs qui se ramènent à des opérations sur des chiffres, et par conséquent ces apprenants  passent, dans leur processus d’acquisition des savoirs mathématiques , d’un stade pré formaliste au cours du cycle primaire à un stade formaliste au cours du cycle collégial. Ce passage inaperçu s’avère catastrophique pour nos élèves, qui accumulent des difficultés, et parfois des obstacles qui entravent leurs tentatives de progresser. 

4. Le calcul numérique et littéral dans les orientations pédagogiques :

     Les orientations pédagogiques soulignent l’importance majeure du calcul numérique et littéral dans l’apprentissage des mathématiques au collège et considèrent que la maîtrise des opérations sur les nombres rationnels et les racines carrées, la sensibilisation -des apprenants- sur l’intérêt du calcul littéral ainsi que la  résolution d’équations et d’inéquations comme des objectifs principaux de l’enseignement des mathématiques au collège :  

في الحساب العددي، التمكن من العمليات على الأعداد العشرية النسبية و الأعداد الجذرية و الجذور المربعة و التحسيس بالحساب الحرفي )تقنيات النشر و التعميل( و حل المعادلات و المتراجحات. ⁽²⁰⁾

Pour atteindre l’objectif cité ci-dessus, les orientations pédagogiques déconseillent le recours à toute construction théorique des ensembles numériques pour insister d’une façon pragmatique sur les techniques de calcul : 

ولجعل التلاميذ يتفرغون لإتقان العمليات على الأعداد فقد تم تفادي تقديم وبناء مجموعات الأعداد و التقليل من الخاصيات و

عدم تكرارها وضم المواضيع المتجانسة و المتقاربة لتدرس في وحدات ...⁽²¹⁾ 

Pour sensibiliser les élèves  sur l’importance du calcul littéral,  les orientations pédagogiques exigent le choix ou la construction d’activités qui peuvent justifier la nécessité et l’intérêt du recours à l’usage des symboles et des lettres, notamment la mathématisation de différentes situations :

ينبغي اختيار أو بناء أنشطة يلمس التلاميذ من خلالها ضرورة و أهمية اللجوء إلى استعمال الرموز و الحروف: تبسيط تعابير و حساب قيم عددية لها، إبراز الغاية من وضع و إزالة الأقواس،... استعمال الحساب الحرفي في ترييض وضعيات مختلفة... ⁽²²⁾

     Malheureusement la stratégie "j’apprends, j’applique" domine encore les pratiques des enseignants de mathématique. Ainsi le calcul littéral est souvent présenté à partir de règles de transformations sur des expressions algébriques. Les situations à mathématiser interviennent à posteriori  pour appliquer des procédés de calcul sur des expressions littérales au lieu de justifier le recours à l’usage de celles-ci. En conclusion, les pratiques de l’enseignement sont encore loin de concrétiser les aspirations des orientations pédagogiques.   

Tableau N^o1 : Évolution de l’enseignement du calcul numérique et algébrique ainsi que  le volume horaire qu’il occupe à travers les trois années du cycle collégial :

  En première année, le programme d’algèbre qui représente environ 40% du programme de mathématiques, est consacré entièrement au calcul numérique et littéral. L’introduction des nombres négatifs, de la factorisation pour simplifier les calculs sur des expressions numériques et algébriques ainsi que la résolution de problèmes se ramenant à la résolution d’équations du premier degré constituent les principaux axes traités à ce niveau.

En deuxième année, les acquis antérieurs des élèves sont soutenus et élargis par une synthèse concernant les opérations sur les nombres rationnels et les puissances à exposants négatifs, l’introduction d’une leçon sur le calcul littéral, ainsi que la résolution des équations se ramenant à des équations du premier degré à une seule inconnue et d’inéquations pour se familiariser avec les règles de l’ordre dans l’ensemble des nombres rationnels. Le volume horaire consacré à ces thèmes occupe environ 45% du programme de mathématiques de ce niveau.

En  troisième année, l’introduction des opérations sur les racines carrées ainsi que l’usage des identités remarquables et le calcul sur les puissances sont les principaux  axes visant élargir le calcul numérique sur l’ensemble des nombres réels. La résolution  d’équations, d’inéquations et des systèmes de deux équations à deux inconnues et les propriétés de l’ordre sont introduits pour préparer  l’accès des élèves au cycle secondaire qualifiant.